หลักฐานภายนอกและการคำนวณทางคณิตศาสตร์

สุ่มสลับหกสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน 1–6 อย่างเท่าเทียม ตำแหน่ง i จะแมปกับสัญลักษณ์ที่แสดงในตำแหน่งนั้น ติดตามการแมปเหล่านี้จนกว่าจะกลับไปยังตำแหน่งเริ่มต้น จากนั้นจึงดำเนินการต่อจากตำแหน่งถัดไปที่ยังไม่ได้เยี่ยมชม การดำเนินการนี้จะแยกการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดออกเป็นวัฏจักรที่ไม่ต่อเนื่องกัน รางวัลดิบคือค่าน้อยที่สุดร่วมของความยาววัฏจักรทั้งหมดลบหนึ่ง: ลำดับการเรียงสับเปลี่ยนลบหนึ่ง ซึ่งไม่ได้นับจำนวนสัญลักษณ์ที่ตรงกันหรือผลรวมของความยาววัฏจักร การเรียงสับเปลี่ยนต้นฉบับทั้งหมดและวัฏจักรแต่ละอันจะถูกแสดง

การเรียงสับเปลี่ยนทั้ง 720 แบบมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ผลตอบแทนดิบ 0, 1, 2, 3, 4, 5 เกิดขึ้น 1, 75, 80, 180, 144, 240 ครั้ง ตามลำดับ สำหรับเลขชี้กำลัง 1, 2, 3 ค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนดิบ^เลขชี้กำลังคือ 2551/720, 10319/720 และ 44791/720 ตัวคูณรวมคือ 0.96×ผลตอบแทนดิบ^เลขชี้กำลัง/ค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนดิบ^เลขชี้กำลัง ตัวส่วนคือค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนที่ถูกยกกำลัง ไม่ใช่การยกกำลังของค่าเฉลี่ย เลขชี้กำลังที่เลือกไว้ล่วงหน้าแต่ละตัวมีการคืนทุนรวมโดยคาดหวังที่ 96% โดยไม่ต้องสมมติทักษะหรือการเล่นที่เหมาะสมที่สุด การคืนทุนรวมรวมเงินเดิมพันไว้ด้วย ผลตอบแทนศูนย์จะคืนศูนย์; ผลตอบแทนบวกรายตัวอาจคืนค่าน้อยกว่าเงินเดิมพัน

การเรียงสับเปลี่ยนที่แสดงคือ 1,2,3,4,5,6 มีหกวงจรที่มีความยาว 1 และผลตอบแทน 0 การเรียงสับเปลี่ยน 2,1,3,4,5,6 มีความยาววงจร 2,1,1,1,1 และผลตอบแทน 1 การเรียงสับเปลี่ยน 2,3,1,5,4,6 มีความยาววงจร 3,2,1; ค.ร.น. ของความยาวคือ 6 และผลตอบแทนคือ 5 การเรียงสับเปลี่ยน 2,3,4,5,6,1 เป็นวงจรความยาว 6 วงจรเดียวและให้ผลตอบแทน 5 โครงสร้างวงจรที่แตกต่างกันสามารถมีลำดับความยาวเท่ากันได้